Des énigmes mathématiques au IXe siècle

Parmi les clichés les plus solidement liés au Moyen Âge, on trouve l’idée que les gens y étaient alors globalement stupides – « illettrés » ou encore « dominés par une Église obscurantiste ». Pourtant, il existe alors de nombreux intellectuels et scientifiques, et certains cherchent explicitement à diffuser leur savoir. Au IXe siècle, Alcuin, conseiller de Charlemagne, rédige ainsi un traité intitulé Propositions pour affûter l’esprit des jeunes gens. Il s’agit d’un recueil de 53 petites énigmes mathématiques, posées sous la forme de petites histoires et destinées à servir d’exercice pour les étudiants. Oui oui, c’est l’équivalent du concours Kangourou aujourd’hui.

On vous en propose quelques-unes : ne trichez pas, il faut les faire sans calculette… !

1) Il était un petit navire

Un homme et une femme, pesant chacun une charretée, et deux enfants, pesant chacun une demi-charretée, veulent traverser une rivière. Ils ont un bateau qui ne peut transporter qu’une charretée.

Combien d’allers-retours le bateau devra-t-il faire ?

2) Veau, vache, cochon, couvée

Un marchand veut acheter 100 animaux en dépensant exactement 100 shillings. Le prix des animaux est de 5 shillings pour un chameau, 1 shilling pour un âne et 1 shilling pour 20 moutons.

Combien de chameaux, d’ânes et de moutons doit-il acheter ?

3) Espérance de vie

Un vieillard croise un enfant dans la rue. Il lui dit : « Puisses-tu vivre autant d’années que tu en as déjà vécues, puis encore autant d’années, et une troisième fois encore autant d’années. Vis encore le triple de ce temps. Que Dieu t’accorde une année de plus, et tu auras vécu 100 ans ! »

Quel âge a l’enfant quand le vieillard lui parle ?

4) C’est la petite bête qui monte, qui monte…

Prenons une échelle qui a cent barreaux. Sur le premier barreau dort un pigeon, sur le deuxième deux pigeons, sur le troisième trois pigeons… ainsi de suite jusqu’au 100e barreau où dorment 100 pigeons.

Combien y a-t-il de pigeons en tout sur l’échelle ?

5) Tant va la cruche à l’eau…

Un père laisse en héritage 30 cruches : 10 sont pleines d’huile, 10 sont vides, 10 sont à moitié pleines. Il a trois fils.

Comment faut-il répartir les cruches pour que chaque fils ait autant de cruches et autant d’huile ?

6) Fort comme un bœuf

Deux hommes menant un troupeau de bœufs se croisent sur la route. Le premier dit à l’autre : « Si tu me donnes deux bœufs, j’en aurai autant que toi ! » Le second répond : « Et si tu me rends ensuite deux bœufs, j’en aurai deux fois plus que toi ! »

Combien chaque homme avait-il de bœufs au départ ?

7) Un tien vaut mieux…

Un homme voit des chevaux broutant dans un champ. Il s’exclame : « Si j’avais ces chevaux, plus la moitié de la moitié de leur nombre, j’aurais 100 chevaux ! »

Combien de chevaux broutent dans le champ ?

8) Rien ne sert de courir

Prenons un champ qui fait 150 pieds de long. Un chien de chasse repère un lièvre à l’autre bout du champ. Le lièvre prend la fuite et le chien lui court après. Le chien parcourt 9 pieds à chaque saut, le lièvre 7 pieds à chaque saut.

Quand le chien aura rattrapé le lièvre, combien de pieds en tout aura-t-il parcouru ?

9) Roule qui peut

Sept charpentiers fabriquent chacun sept roues.

Combien pourra-t-on faire rouler de charriots grâce à leur travail ?

10) Question piège, niveau 1

Un bœuf tire une charrue dans un champ de 120 pieds de long.

À la fin de la journée, combien d’empreintes de sabot seront visibles dans le dernier sillon du champ ?

11) Question piège, niveau 2

Un homme a 30 cochons. Il ordonne à ses serviteurs de tous les tuer en trois jours, mais il leur impose de ne tuer qu’un nombre impair chaque jour. Combien de cochons seront tués à chaque journée pour respecter ces deux ordres ?

Les réponses – on ne triche pas !

1) Il était un petit navire

Neuf allers-retours. Accrochez-vous. Les deux enfants traversent la rivière (1). L’un d’eux reste de l’autre côté, le premier ramène le bateau (2). La mère traverse (3), le fils ramène le bateau (4). Les deux enfants traversent (5), l’un reste de l’autre côté, le premier ramène le bateau (6). Le père traverse (7), le fils ramène le bateau (8). Les deux enfants traversent (9). Alcuin conclut : ingénieuse famille qui a su éviter le naufrage !

The British Library, ms. Harley 4417, f. 46.

2) Veau, vache, cochon, couvée

Il achète 19 chameaux, pour 95 shillings + 1 âne pour 1 shilling + 80 moutons pour 4 shillings soit 19 + 1 + 80 = 100 animaux et 95 + 1 + 4 = 100 shillings.

3) Espérance de vie

L’enfant a 8 ans et 3 mois. En effet, si on ajoute trois fois ce temps, on a 16 ans et 6 mois, puis 24 ans et 9 mois, puis 33 ans. Le triple fait 99 ans, plus 1 = 100 ans.

4) C’est la petite bête qui monte, qui monte…

Si on prend le pigeon du premier barreau et qu’on l’additionne aux 99 pigeons du 99 barreaux, on a 100. Idem avec le 2e et le 98e barreau. Etc., etc., en laissant de côté le 50e et le 100e barreaux. On additionne donc 49 fois 100 + 50 + 100 = 5050 pigeons.

5) Tant va la cruche à l’eau…

Chaque fils doit recevoir 10 cruches. L’aîné prend les 10 cruches à moitié vides, le cadet prend 5 cruches pleines et 5 vides, le benjamin pareil. Chacun aura eu 10 cruches en tout et l’équivalent de 5 cruches d’huile pleines en tout.

6) Fort comme un bœuf

Le premier en a 4 et l’autre 8. Le 2e donne deux bœufs à l’autre, les deux en ont donc chacun 6. Puis le premier lui rend deux bœufs, ils se retrouvent donc à 4 et 8, ce qui est bien le double.

7) Un tien vaut mieux…

Cela fait 80 chevaux, car la moitié de la moitié (donc le quart) de 80 = 20, or 80 + 20 = 100.

8) Rien ne sert de courir

Le champ fait 150 pieds, et il y a une différence de 2 pieds entre chaque saut. Donc on fait 150 divisé par 2 = 75. Le chien doit donc faire 75 bonds pour rattraper le lièvre, soit 75 x 9 pieds = 675 pieds.

9) Roule qui peut

7 x 7 = 49 ; 49 divisé par 4 = 12, il y aura donc 12 charriots et une roue en trop.

10) Question piège niveau 1

Aucune trace de sabot ne sera visible car la charrue, qui vient après le bœuf, les efface au fur et à mesure…

Musée national germanique, Nuremberg, Hs. 22474. f. 55v.–56r.

11) Question piège niveau 2

C’est impossible : on ne peut pas diviser par trois un nombre impair et obtenir trois nombres impairs. Alcuin note que cette énigme doit être proposée aux élèves turbulents, pour les calmer…

Pour en savoir plus

Toutes les énigmes d’Alcuin sont traduites ici : http://www.recreomath.qc.ca/art_alcuin.htm

Jérôme Gavin, Philippe Genequand, Enigmes mathématiques au temps de Charlemagne, EPFL Press, 2021.

D’autres énigmes et devinettes médiévales ici : https://twitter.com/AgeMoyen/status/1272103291598635008

3 réflexions sur “Des énigmes mathématiques au IXe siècle

  1. Bonjour.

    Pour l’énigme n° 5, il y a une deuxième solution possible, où chacun des enfants a des cruches pleines, des demi-pleines et des vides.
    Pour y arriver, il faut que l’un ait 4 cruches pleines, 2 moitié-pleines et 4 vides (10 cruches en tout, pour l’équivalent de 5 pleines). Les deux autres auront alors 3 pleines, 4 moitié-pleines et 3 vides.
    Si l’on veut restreindre à une solution unique, il faut ajouter une condition dans l’énoncé : que chacun des enfants ait au plus 2 sortes de cruches, ou au contraire que chacun ait au moins une cruche de chacune des 3 sortes.

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      1. Merci pour votre précision.
        En fait, il y a une série d’autres réponses, toutes analogues : le premier pouvant avoir 3 cruches pleines, 4 moitié pleines et 3 vides, et ainsi de suite jusqu’à 1 cruche pleine, 8 moitié pleines et 1 vide. Ce dernier cas est aussi le seul, je pense, où les trois frères ont des assortiments totalement différents (1 pleine, 1 vide et 8 moitié-pleines pour le premier, 4 pleines, 4 vides et 2 moitié-pleines pour le second, et enfin 5 pleines, 5 vides et aucune moitié pleine pour le dernier).

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